P7417 [USACO21FEB] Minimizing Edges P 题解

Description

Bessie 有一个连通无向图 $G$。$G$ 有 $N$ 个编号为 $1\ldots N$ 的结点，以及 $M$ 条边（$2\le N\le 10^5, N-1\le M\le \frac{N^2+N}{2}$）。$G$ 有可能包含自环（一个结点连到自身的边），但不包含重边（连接同一对结点的多条边）。

令 $f_G(a,b)$ 为一个布尔函数，对于每一个 $1\le a\le N$ 和 $0\le b$，如果存在一条从结点 $1$ 到结点 $a$ 的路径恰好经过了 $b$ 条边，则函数值为真，否则为假。如果一条边被经过了多次，则这条边会被计算相应的次数。

Elsie 想要复制 Bessie。具体地说，她想要构造一个无向图 $G'$，使得对于所有的 $a$ 和 $b$，均有 $f_{G'}(a,b)=f_G(a,b)$。

Elsie 想要进行最少数量的工作，所以她想要构造最小可能的图。所以，你的工作是计算 $G'$ 的边数的最小可能值。

$\sum N\leq 10^5,\sum M\leq 2\times 10^5$。

Solution

首先对于每个人一定存在 $(x_i,y_i)$，满足 $f_{i,j}=1$ 的条件为 $j$ 为奇数且 $j\geq x_i$ 或者 $j$ 为偶数且 $j\geq y_i$。

那么现在可以先对于原图 $G$ 跑 bfs 求出到每个点的奇偶最短路，得到 $(x_i,y_i)$。注意到这里的贡献是 $x_i+1\to y_j$ 和 $y_i+1\to x_j$，不太美观，考虑将其变为 $(a_i,b_i)$ 表示到 $i$ 的最短路和与最短路奇偶性不同的最短路。

则一定满足 $a_i<b_i$ 且 $a_i$ 和 $b_i$ 奇偶性不同。

此时对于 $i$，要贡献出 $(a_i,b_i)$，就一定要满足 $i$ 的邻域存在一个 $a_j=a_i-1$，且存在 $a_k=b_i-1$ 或者 $b_k=b_i-1$。同时还需要满足所有与 $i$ 相邻的 $j$ 都有 $|a_i-a_j|\leq 1$。所以 $(a_i,b_i)$ 只会连如下边：

1. $(a_i-1,b_i-1)$
2. $(a_i-1,b_i+1),(a_i+1,b_i-1)$

可以证明这两种连边满足条件，且不存在其余更优的连法。

现在如果把 $(a_i,b_i)$ 放到二维平面上，第一种相当于往左上方连边，第二种是同时往右上、左下连边。特别的，当 $a_i+1=b_i$ 时第二种是往自己和左下连边。

注意到上面的连法可以按照 $a_i+b_i$ 分层，如下图：

考虑对于同层内的点从左往右进行贪心，设 $i$ 有 $t$ 个点，$cnt$ 表示 $i-1$ 往 $i$ 要连 $cnt$ 条边。

1. 如果 $i$ 上方没有点，就只能连层内边，所以 $ans\leftarrow ans+\max\{t,cnt\},cnt\leftarrow t$。

2. 如果 $i$ 上方有点，还要分两种情况讨论：

• 如果 $t\geq cnt$，则 $t$ 中要分 $cnt$ 个点连左边，剩余的全连上面。
• 如果 $t<cnt$，则 $t$ 个点全要连左边。

枚举到最后，如果在 $(x,x+1)$ 剩余 $cnt$ 个点要连右边，则一定是它们内部两两连边，即 $ans\leftarrow\left\lceil\frac{cnt}{2}\right\rceil$。

具体见代码。

时间复杂度：$O(N\log N)$。

Code