CF717A Festival Organization 题解

Description

一个合法的串定义为：长度在 $[l,r]$ 之间，且只含 0,1，并且不存在连续 $2$ 个或更多的 $0$。

现在要选出 $k$ 个长度相同的合法的串，问有几种选法，答案模 $10^9+7$。

$1\leq k\leq 200,1\leq l\leq r\leq 10^{18}$。

Solution

容易发现答案为 $\sum_{i=l+2}^{r+2}{\binom{Fib_i}{k}}$。先将 $l,r$ 都加 $2$，题目就转化为了求 $\sum_{i=l}^{r}{Fib_i^{\underline{k}}}$。

注意到下降幂是不好做区间求和的，考虑用第一类斯特林数转化为普通幂：

$$x^{\underline{k}}=\sum_{i=0}^{k}{(-1)^{k-i}{k\brack i}x^i}$$

于是题目相当于是求斐波那契数列的 $k$ 次区间和。

但是斐波那契数列的 $k$ 次区间和仍然是无法做的，注意到等比数列是可以求区间和的，所以可以用通项公式将斐波那契数转化成幂次再求和：

$$\begin{aligned} Fib_i^k&=\left[\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right)^i-\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right)^i\right]^k\\ &=\sum_{j=0}^{i}{\binom{i}{j}\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right)^{ij}\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right)^{i(k-j)}}\\ &=\sum_{j=0}^{i}{\binom{i}{j}\left[\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right)^{j}\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right)^{k-j}\right]^i} \end{aligned}$$

这样就可以做了。但是有个问题，就是 $\sqrt 5$ 在 $\bmod 10^9+7$ 意义下没有定义，所以需要维护一个形如 $a+b\sqrt 5$ 的类。

注意等比数列的比为 $1$ 的情况要特判。

时间复杂度：$O(k^2\log r)$。

Code

#include <bits/stdc++.h>

#define int int64_t

const int kMaxK = 205, kMod = 1e9 + 7, kInv2 = 500000004, kInv5 = 400000003;

int k, l, r;
int C[kMaxK][kMaxK], S[kMaxK][kMaxK], fac[kMaxK], ifac[kMaxK];

constexpr int qpow(int bs, int64_t idx = kMod - 2) {
  int ret = 1;
  for (; idx; idx >>= 1, bs = (int64_t)bs * bs % kMod)
    if (idx & 1)
      ret = (int64_t)ret * bs % kMod;
  return ret;
}

inline int add(int x, int y) { return (x + y >= kMod ? x + y - kMod : x + y); }
inline int sub(int x, int y) { return (x >= y ? x - y : x - y + kMod); }
inline void inc(int &x, int y) { (x += y) >= kMod ? x -= kMod : x; }
inline void dec(int &x, int y) { (x -= y) < 0 ? x += kMod : x; }

int getop(int x) { return (~x & 1) ? 1 : (kMod - 1); }

struct Node {
  int a, b; // a + b * sqrt(5)

  Node(int _a = 0, int _b = 0) : a(_a), b(_b) {}

  Node inv() {
    int k = qpow(sub(1ll * a * a % kMod, 5ll * b % kMod * b % kMod));
    return {1ll * a * k % kMod, 1ll * sub(0, b) * k % kMod};
  }

  friend bool operator ==(Node a, Node b) { return a.a == b.a && a.b == b.b; }
  friend Node operator +(Node a, Node b) { return {add(a.a, b.a), add(a.b, b.b)}; }
  friend Node operator -(Node a, Node b) { return {sub(a.a, b.a), sub(a.b, b.b)}; }
  friend Node operator *(Node a, Node b) { return {add(1ll * a.a * b.a % kMod, 5ll * a.b % kMod * b.b % kMod), add(1ll * a.a * b.b % kMod, 1ll * a.b * b.a % kMod)}; }
  friend Node operator /(Node a, Node b) { return a * b.inv(); }
  friend Node operator -(Node a) { return {sub(0, a.a), sub(0, a.b)}; }
};

Node qpow(Node bs, int idx) {
  Node ret = {1, 0};
  for (; idx; idx >>= 1, bs = bs * bs)
    if (idx & 1)
      ret = ret * bs;
  return ret;
}

int getsum(int n, int k) {
  if (!n) return 0;
  Node ret = {0, 0}, a = {kInv2, kInv2}, b = {kInv2, sub(0, kInv2)};
  for (int i = 0; i <= k; ++i) {
    Node bs = qpow(a, i) * qpow(b, k - i), sum = {0, 0};
    if (bs == (Node){1, 0}) sum = {n % kMod, 0};
    else sum = (qpow(bs, n + 1) - bs) / (bs - (Node){1, 0});
    if (~(k - i) & 1) ret = ret + sum * (Node){C[k][i], 0};
    else ret = ret - sum * (Node){C[k][i], 0};
  }
  if (~k & 1) return 1ll * ret.a * qpow(kInv5, k / 2) % kMod;
  else return 1ll * ret.b * qpow(kInv5, k / 2) % kMod;
}

int getsum(int l, int r, int k) {
  return sub(getsum(r, k), getsum(l - 1, k));
}

void prework() {
  fac[0] = ifac[0] = C[0][0] = S[0][0] = 1, 1;
  for (int i = 1; i <= 200; ++i) {
    C[i][0] = 1;
    fac[i] = 1ll * i * fac[i - 1] % kMod;
    ifac[i] = qpow(fac[i]);
    for (int j = 1; j <= i; ++j) {
      C[i][j] = add(C[i - 1][j - 1], C[i - 1][j]);
      S[i][j] = add(S[i - 1][j - 1], 1ll * (i - 1) * S[i - 1][j] % kMod);
    }
  }
}

void dickdreamer() {
  prework();
  std::cin >> k >> l >> r;
  l += 2, r += 2;
  int ans = 0;
  for (int i = 0; i <= k; ++i) {
    inc(ans, 1ll * S[k][i] * getop(k - i) % kMod * getsum(l, r, i) % kMod);
  }
  std::cout << 1ll * ans * ifac[k] % kMod << '\n';
}

int32_t main() {
#ifdef ORZXKR
  freopen("in.txt", "r", stdin);
  freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
  std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
  int T = 1;
  // std::cin >> T;
  while (T--) dickdreamer();
  // std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";
  return 0;
}