P1006 [NOIP2008 提高组] 传纸条 题解

传纸条

这题一眼看就是 DP。考虑如何建状态。

首先，我们可以把问题转化为从 $(1,1)$ 出发，选择到 $(n,n)$ 的两个路径，使这两个路径中途没有交点。

有一个显然的性质：从 $(1,1)$ 出发，走到 $(x,y)$ 需要 $(x-1)+(y-1)$ 步。在这道题里，只要同一时刻，两个点的纵坐标不相等，则这两个路径没有交点。那么我们可以定义 $f_{s,i,j}$ 表示：纵、横坐标和为 $s$，左边那个点的纵坐标为 $i$，右边那个点的纵坐标为 $j$ 的最大和。

$$f_{s,i,j}=max\bigg\{f_{s-1,i,j},f_{s-1,i-1,j},f_{s-1,i,j-1},f_{s-1,i-1,j-1}\bigg\}+a_{s-i,i}+a_{s-j,j}$$

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n, m;
int a[55][55], f[105][55][55];

int main() {
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    for (int j = 1; j <= m; ++j) {
      cin >> a[i][j];
    }
  }
  memset(f, -1, sizeof(f));
  f[2][1][1] = 0;
  for (int s = 3; s < n + m; ++s) {
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
      for (int j = i + 1; j <= m; ++j) {
        if (s - i > n || s - j > n) continue ;
        int tmp = -1;
        tmp = max(tmp, f[s - 1][i][j]);
        tmp = max(tmp, f[s - 1][i - 1][j]);
        tmp = max(tmp, f[s - 1][i][j - 1]);
        tmp = max(tmp, f[s - 1][i - 1][j - 1]);
        if (tmp == -1) continue ;
        f[s][i][j] = tmp + a[s - i][i] + a[s - j][j];
      }
    }
  }
  cout << f[n + m - 1][m - 1][m] << endl;
  return 0;
}